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长沙家教:长沙市番禺区高三上学期期末统一考试数学卷


来源:长沙家教中心 日期:2018/8/4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数 等于   
A.         B. C.             D.  
2.“ ”是“直线 与圆  相交”的
  A.充分不必要条件            B.必要不充分条件
C.充分必要条件              D.既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图.若输入 ,则输出 的值是
A.              B.             
 C.              D.  
4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 ,
点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为 ,则
此双曲线的方程是 
A. B.
C. D. 
5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,
若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 
A.  140种        B.  120种        C. 35种    D.  34种[
6.已知三棱锥的底面是边长 为 的正三角形,其正视图与俯视图如图所
示,则其侧视 图的面积为
A.                B. 
 C.                  D.  
7.设集合 ,集合 .若 中恰含有一个整数,则实数 的取值范围是
A.           B. C.        D.  
8. 在棱长为1的正方体 中,点 , 分别是线段 , (不包括端点)上的动点,且线段 平行于平面 ,则四面体 的体积的最大值是 
    A.             B.              C.              D. 
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 
9. 已知数列 是等差数列,数列 是等比数列,则 的值为      .
10. 如图, , 是半径为 的圆 的两条弦,它们相交于 的中点 .
若 , ,则 =      ,       (用 表示). 
11.若关于 , 的不等式组 ( 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则       .
12. 在极坐标系中,过圆 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为       .
 
 
 
 
 
13.在直角三角形 中, , ,点 是斜边 上的一个三等分点,则        .
14. 将整数 填入如图所示的 行 列的表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为      ,最大值为      .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
已知函数 . 
(Ⅰ)求函数 的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ)求函数 在 上的最小值.
16. (本小题满分14分)
在长方体 中, ,点 在棱 上,且 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)在棱 上是否存在点 ,使 ∥平面 ?   
若存在,求出线段 的长;若不存在,请说明理由; 
(Ⅲ)若二面角 的余弦值为 ,求棱 的
长.
 
17. (本小题满分13分)
某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
 
 
组别 分组 频数 频率
第1组 [50,60) 8 0.16
第2组 [60,70) a
第3组 [70,80) 20 0.40
第4组 [80,90) 0.08
第5组 [90,100] 2 b
合计
(Ⅰ)写出 的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数,求 的分布列及其数学期望.
18. (本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求函数 的单调区间;
(Ⅲ)设函数 .若至少存在一个 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
 
19.(本小题满分14分)
已知点 是椭圆 的左顶点,直线 与椭圆 相交于 两点,与 轴相交于点 .且当 时,△ 的面积为 . 
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 , 与直线 分别交于 , 两点,试判断以 为直径的圆是否经过点 ?并请说明理由.
20. (本小题满分13分)
将正整数 ( )任意排成 行 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 ( )的比值 ,称 这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
(Ⅰ)当 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”;
(Ⅱ)若 表示某个 行 列数表中第 行第 列的数( , ),且满足 请分别写出 时数表的“特征值”,并由此归纳此类数表的“特征值”(不必证明);
(Ⅲ)对于由正整数 排成的 行 列的任意数表,记其“特征值”为 ,求证: .
 

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