一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．函数 的最小正周期T= .
2．若过点 和 的直线与直线 平行，则 = .
3．等差数列 中， ，那么 的值是 .
4．直线 经过一定点，则此点是
5．不等式 的解集是 .
6．已知a= ，b= ，若 ,则λ=
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长
为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个
几何体的全面积为 .
8．已知两个球的表面积之比为1∶ ，则这两个球的半径之比为 .
9.与 都相切，且过点（1，8）的圆的圆心坐标为 .
10. 已知圆C的方程为 ，若 , 两点一个在圆C的内部,一个在
圆C的外部,则实数a的取值范围是 .
11．若 ，则 的值为 .
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90o，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线
AD和BC1所成角的大小为 .
13．若经过点P（－1，0）的直线与圆 相切，则这条直线在y轴上
的截距是 .
14．如图，一个圆锥形容器的高为 ，内装有一定量的水.
如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为 （如图2-②），
则图2-①中的水面高度为 .
二、解答题（本大题共6小题，共90分.）
15.（本题满分14分）如图，在平行四边形 中，点 ．
（1）求 所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求 所在直线的方程．
16．（本题满分14分）已知 的周长为 ，且 ．
（I）求边 的长；
（II）若 的面积为 ，求角 的度数．
17. （本题满分16分）如图，三棱锥 中， 是边长为4的正三角形， ，
E为AB的中点， .
(Ⅰ) 求证：平面 ;
(Ⅱ) 求直线 和平面CDE所成的角的正切；
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.
18．（本题满分14分）已知等比数列 ， ，
（1）求通项 ；
（2）若 ，数列 的前 项的和为 ，且 ，求 的值.
19．（本题满分16分）在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切．
（1）求圆 的方程；
（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，
求 的取值范围．
20．（本题满分16分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，
又BO=2,PO= , PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且 为何值时，PC⊥平面BMD.
扬州市新华中学高一数学第三阶段测试卷答题纸
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1. 2. 3.24 4. 5. 6.
7. 8.1：3 9. 或 10. 11.
12. 13.1 14.
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分14分）
解: (1) 点O（0，0），点C（1，3），
OC所在直线的斜率为 .
（2）在 中， ,
CD⊥AB，
CD⊥OC.
CD所在直线的斜率为 .
CD所在直线方程为
.
16．（本题满分14分）
解：（I）由题意及正弦定理，得 ，
，
两式相减，得 ．
（II）由 的面积 ，得 ，
由余弦定理，得
，所以 ．
17. （本题满分16分）
（1）略证： ；
（2）作AF⊥DE于F点，可证AF长即为所求，AD=3，AE=2， ， ， ；
（3）等体积法：BD=DC=5，BC=4， ， ，
， 。
18．（本题满分14分）
(1)
(2)由（1）可知 ，故 ，所以
19．（本题满分16分）
解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，
即 ．得圆 的方程为 ．
（2）不妨设 ．由 即得 ．设 ，由 成等比数列，得 ，即 ．
由于点 在圆 内，故 由此得 ．所以 的取值范围为 ．
20．（本题满分16分）
（1） ，DO=1，取AB中点E，连DE，故DE//BC，连PE，故 （或其补角）为异面直线PD与BC所成角， ，
。
（2）连OE，PE，可证得 为二面角P-AB-C的平面角， ， 。
（3） ， 。
若 面BMD，则 ， ， ，
。
本题满分16分）如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与
直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证：AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的平面角的正切值；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.
在正三角形ABC中，E、F分别是AB、
AC边上的点，满足 （如图1）.
将△AEF沿EF折起到 的位置，使二
面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1C.
（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEC；
（2）求直线A1E与平面A1BC所成角的大小
如图，在四棱锥 中， 底面 ，
， ， 是 的中点．
（Ⅰ）求 和平面 所成的角的大小；
（Ⅱ）证明 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的正弦值.．
（Ⅰ）解：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ，故 ．
又 ， ，从而 平面 ．故 在平面 内的射影为 ，从而 为 和平面 所成的角．
在 中， ，故 ．
所以 和平面 所成的角的大小为 ．
（Ⅱ）证明：在四棱锥 中，
因 底面 ， 平面 ，故 ．
由条件 ， ， 面 ．
又 面 ， ．
由 ， ，可得 ．
是 的中点， ，
．综上得 平面 ．
（Ⅲ）解：过点 作 ，垂足为 ，连结 ．由（Ⅱ）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 ．
因此 是二面角 的平面角．
由已知，可得 ．设 ，可得
， ， ， ．
在 中， ， ，则
．
在 中， ．
所以二面角 的大小 ．
命题、校对：孟素红
（Ⅰ）∵平面 平面 ， ， 平面 ．
∴ 平面
又∵ 平面
∴
（Ⅱ）取 的中点 ，则 ．连接 、 ．
∵平面 平面 ，平面 平面 ， ．
∴ 平面 ．
∵ ，∴ ，从而 平面 ．
作 于 ，连结 ，则由三垂线定理知 ．
从而 为二面角 的平面角．
∵直线 与直线 所成的角为60°，
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ．
在 中， ．
在 中， ．
在 中，
故二面角 的大小为
（Ⅱ）如图以 为原点建立空间直角坐标系 ．
设 ，
有 ， ， ．
，
由直线 与直线 所成的角为60°，得
即 ，解得 ．
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，则
由 ，取 ，得
取平面 的一个法向量为
则
由图知二面角 为锐二面角，故二面角 的大小为 ．
（Ⅲ）多面体 就是四棱锥
．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO= ,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且 为何值时，PC⊥平面BMD.
（06全国二）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
扬州市新华中学高一数学第三阶段测试卷参考答案
一 填空题
1.{1}; 2.一; 3. ; 4. ; 5. ; 6.56; 7. ;
8.16; 9.2; 10. ; 11.1; 12. ; 13. 4∶1; 14.
二 解答题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．函数 的最小正周期T= .
2．若过点 和 的直线与直线 平行，则 = .
3．等差数列 中， ，那么 的值是 .
4．直线 经过一定点，则此点是
5．不等式 的解集是 .
6．已知a= ，b= ，若 ,则λ=
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长
为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个
几何体的全面积为 .
8．已知两个球的表面积之比为1∶ ，则这两个球的半径之比为 .
9.与 都相切，且过点（1，8）的圆的圆心坐标为 .
10. 若 ，则 的值为 .
11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90o，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线
AD和BC1所成角的大小为 .
12．若经过点P（－1，0）的直线与圆 相切，则这条直线在y轴上的截距是 .
13．已知圆C的方程为 ，若 , 两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范围是 .
14．如图，一个圆锥形容器的高为 ，内装有一定量的水.
如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为 （如图2-②），
则图2-①中的水面高度为 .
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题14分）如图，在平行四边形 中，点 ．
（1）求 所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求 所在直线的方程．
16．（本题14分）已知 的周长为 ，且 ．
（I）求边 的长；
（II）若 的面积为 ，求角 的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得 ，
，
两式相减，得 ．
（II）由 的面积 ，得 ，
由余弦定理，得
，
所以 ．
17. （本小题满分16分）
如图，三棱锥 中， 是边长为4的正三角形， ，E为AB的中点， .
(Ⅰ) 求证：平面 ;
(Ⅱ) 求直线 和平面CDE所成的角的正切；
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.
18．（本题满分14分）已知等比数列 ， ，
（1）求通项 ；
（2）若 ，数列 的前 项的和为 ，且 ，求 的值.
19．（本题满分16分）在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切．
（1）求圆 的方程；
（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围．
解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，
即 ．得圆 的方程为 ．
（2）不妨设 ．由 即得 ．设 ，由 成等比数列，得 ，即 ．
由于点 在圆 内，故 由此得 ．所以 的取值范围为 ．
20．（本题满分16分）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝ ，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1） 求证：ADBC
（2） 求二面角B－AC－D的余弦值。
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？
若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由
编辑者：长沙家教（长沙家教网)
