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长沙家教:高中数学平面向量的坐标运算


来源:长沙家教老师 日期:2018/7/1
 
一、选择题
1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b的坐标是
[    ]
A.(7,1)                 B.(-7,-1)
C.(-7,1)               D.(7,-1)
 
[    ]
 
3.已知A,B两点坐标分别为(a,-b),(-a,b),点C分  所成的比为-2,那么C点的坐标是
[    ]
A.(-3a,3b)             B.(3a,-3b)
C.(a,b)                 D.(-a,b)
4.如图,G为△ABC的重心,则  +  -  等于
[    ]
A.0                      B.4  
C.4                    D.4  
 
[    ]
 
 
二、填空题
6.△ABC的三条边的中点的坐标分别是(2,1),(-3,4),(-2,1),则△ABC的重心坐标为________.
 则x=________.
8.已知a=(5,10),b=(-3,-4),c=(2,3),且c=la+kb,则l=________,k=________.
9.已知平行四边形ABCD中,有  =(-2,1),  =(3,7),则向量  的坐标是________.
 10.已知  =(k,12),  =(4,5),  =(10,k),且A,B,C三点共线,则k的值为________.
三、解答题
11.已知  ABCD的顶点A的坐标为(-2,1),一组对边AB与CD的中点分别为M(3,0),N(-1,-2),求  ABCD其余各个顶点的坐标.
12.如图,  =(6,1),  =(x,y),  =(-2,-3),且  ∥  ,确定x,y的关系式.
 
13.证明G为△ABC重心的充要条件是  +  +  =0.
14.如图,五边形ABCDE中,点M,N,P,Q分别是AB,CD,BC,DE的中点,K和L分别是MN和PQ的中点.
 
 
15.设  ABCD一边AB的中点为E,一边AD上有一点F,且F分  的比为m∶n,BF与CE交于点K,求K分  的比λ的值.
 
 
参考答案
 
一、选择题
1.(B).
2.(B).
 
P(-1,-  ).
3.(A).
 
4.(D).
由于G为△ABC的重心,于是有  +  +  =0,则  +  -  =-2  ,
又  =-2  ,故  +  -  =4  .
5.(C).
 
二、填空题
6.(-1,2)
设A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2).由中点坐标公式,得
 
由(Ⅰ)得a1+b1+c1=-3,
由(Ⅱ)得a2+b2+c2=6,
 
 
另解  据例6的结论,△ABC的重心与其各边中点为顶点的三角形的重心相同.于是,
 
7.x=0或x=-1
由于a与b共线,则
2(x2-5x)+12x=0,2x2+2x=0,x=0,x=-1.
 
由(2,3)=l(5,10)+k(-3,-4)=(5l-3k,10l-4k).
 
 
9.(2,-1)
由向量加法的平行四边形法则  =  +  =(1,8),  =  -  =(2,-1).
或由平行四边形性质知
 =-  =(2,-1).
10.k=11或k=-2
因为A,B,C三点共线,所以  与  共线.
而   =  -  =(4-k,-7)
 =  -  =(6,k-5).
∴  (4-k)(k-5)-6×(-7)=0.
解得   k=11或k=-2.
另有解法:设B分  的比为λ,则
 
 
解得  k=11或k=-2.
三、解答题
11.解法一  设B(b1,b2),C(c1,c2),D(d1,d2).
∵  M(3,0)为AB的中点,且A(-2,1).
 
∴  b1=8,b2=-1,
∴  B(8,-1).
又∵  M(3,0),N(-1,-2),
∴  MN的中点O的坐标为(1,-1).
由平行四边形的性质知O点也为AC及BD的中点.
 
解得  c1=4,c2=-3.
d1=-6,d2=-1.
∴  C(4,-3),D(-6,-1).
解法二  设B(b1,b2),C(c1,c2),D(d1,d2).
∵  M与N分别为AB与CD的中点,
∴   =  .
又  A(-2,1),M(3,0),N(-1,-2).
∴   =(5,-1),  =(-1-d1,-2-d2).
∴  (5,-1)=(-1-d1,-2-d2).
∴  d1=-6, d2=-1.
即   D(-6,-1).
又   =  ,  =(c1+1,c2+2).
∴  (5,-1)=(c1+1,c2+2).
解得  c1=4,c2=-3.
∴  C(4,-3).
又   =  ,  =(b1-3,b2-0)=(b1-3,b2),
(5,-1)=(b1-3,b2),
∴  b1=8,b2=-1.
∴  B(8,-1).
12.∵   =(6,1),  =(x,y),  =(-2,-3),
∴   =  +  +  
=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)
=(4+x,y-2).
又∵   ∥  ,
∴   ∥  .
故  x(y-2)-y(4+x)=0,
xy-2x-4y-xy=0,
∴  x+2y=0.
13.充分性(由  +  +  =0推证G为△ABC重心).
如图,延长AG到D,使GD=AG,且AD与BC交于M,连结BD,CD.
 
∵   +  +  =0,
∴   =-(  +  ),
即   =  +  .
又∵   =  ,
∴   =  +  .
由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形.
由于平行四边形的对角线互相平分,可知M为BC的中点,M也为GD的中点.
∴  AM是中线,且G在AM上.
又   =  ,  =2  ,
∴   =2  ,
∴   =  ,
∴  G为△ABC的重心.
下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证  +  +  =0).
如图,延长AG与BC交于D点,
 
∴  AD为BC边中线,D为BC中点.
∵  G是△ABC的重心,
由向量加法的平行四边形法则,可知
 +  =2  .
又由于G为△ABC的重心,
∴   =2  .
∴   =  +  .
于是   +  +  =0.
必要性的证明也可用例5的结论.
14.证法一  在平面上任取一点O,
 
∵  K和L分别为MN和PQ的中点,
 
连结AC,EC,在△ABC和△EDC中,有
 
证法二  坐标法.
 
设A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2),D(d1,d2),E(e1,e2).由中点坐标公式可得
 
同理可求得
 
 
而   =(e1-a1,e2-a2),
 
15.证法一
∵  K分  的比为λ,
 
又  B,K,F三点共线,
 
由于  与  不共线,以  与  为一组基底表示  是唯一的.由①与②可得
 
两式相除,消去t,得
 
证法二  设B(0,0),A(a1,a2),C(c1,c2),则  =(a1,a2),  =(c1,c2),
 =  +  =(a1+c1,a2+c2).
 
 
 
∵  B,K,F三点共线,即  与  共线.
∴  k1f2-k2f1=0,
 
∴  (2c1+λa1)[na2+m(a2+c2)]-(2c2+λa2)•[na1+m(a1+c1)]=0.
整理为2(m+n)(c1a2-c2a1)-λm(a1c2-a2c1)=0,
∵   与  不共线,
∴  a1c2-a2c1≠0,
 
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